Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{3π}{2}$-ωx）sin（ωx-$\frac{π}{2}$）-cos²ωx的最小正周期為π．
（1）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c，若4sin²$\frac{A+C}{2}$-cos2B=$\frac{7}{2}$，求角B的大小以及f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及變形、兩角差的正弦公式化簡解析式，由題意和三角函數(shù)的周期公式求出ω，由特殊角的正弦值求出f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）利用誘導公式、二倍角余弦公式變形化簡已知的方程，求出cosB的值，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B，由內(nèi)角和定理求出A的范圍，由正弦函數(shù)的圖象與 性質求出f（A）的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1+cos2ωx}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∵f（x）的最小正周期為π，∴$\frac{2π}{2ω}=π$，則ω=1，
即f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$sin（2×\frac{π}{4}-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
（2）由A+B+C=π得，$\frac{A+C}{2}$=$\frac{π}{2}-\frac{B}{2}$，
∴4sin²$\frac{A+C}{2}$-cos2B=$\frac{7}{2}$為4sin²（$\frac{π}{2}-\frac{B}{2}$）-cos2B=$\frac{7}{2}$，
則2[1-cos（π-B）]-（2cos²B-1）=$\frac{7}{2}$，
即4cos²B-4cosB+1=0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$，則$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，則$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$，
∴f（A）=$sin（2A-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$的取值范圍是（-1，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質，三角函數(shù)的周期公式，三角恒等變換中的公式的靈活應用，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡、變形能力．