已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a>0,b∈R),方程f(x)=x有兩個實數(shù)根x1、x2.
(Ⅰ)如果x1<2<x2<4,設(shè)函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0,求證x0>-1;
(Ⅱ)如果0<x1<2,且f(x)=x的兩實根相差為2,求實數(shù)b的取值范圍.
分析:(Ⅰ)有x1<2<x2<4轉(zhuǎn)化為g(x)=f(x)-x=0有兩根:一根在2與4之間,另一根在2的左邊,利用一元二次方程根的分布可證.
(Ⅱ)先有a>0,知兩根同號,在分兩根均為正和兩根均為負(fù)兩種情況來討論.再利用兩根之和與兩根之積和|x2-x1|=2來求b的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)g(x)=f(x)-x=ax
2+(b-1)x+1,
∵a>0,
∴由條件x
1<2<x
2<4,
得g(2)<0,g(4)>0.即
由可行域可得
<2,∴
x0=->-1.
(Ⅱ)由題設(shè)令g(x)=f(x)-x=ax
2+(b-1)x+1=0,知
x1x2=>0,故x
1與x
2同號.
0<x
1<2,則x
2-x
1=2(負(fù)根舍去),
∴x
2=x
1+2>2.
∴
,即
①×4-②得4b-1<0,∴b<
綜上,b的取值范圍為
b<.
點(diǎn)評:利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題,通常有兩種解法:一種是利用方程中根與系數(shù)的關(guān)系或利用函數(shù)思想結(jié)合圖象求解.二種是構(gòu)造兩個函數(shù)分別作出圖象,利用數(shù)形結(jié)合求解.此類題目也體現(xiàn)了函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合的思想