【題目】如圖，是以為直徑的圓上一點(diǎn)，，等腰梯形所在的平面垂直于⊙所在的平面，且.

（1）求與所成的角；

（2）若異面直線和所成的角為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）30°（2）

【解析】

（1）根據(jù)可知，與所成角即為（或其補(bǔ)角），根據(jù)可得結(jié)果；

（2）取弧的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系：再利用二面角的兩個(gè)半平面的法向量可求得結(jié)果.

（1），

與所成角即為（或其補(bǔ)角），

又，

，

又，

.

與所成角為30°.

（2）取弧的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)的長為，則，

所以，

所以，

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

則

令，得

.

顯然平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角所成角的平面角為，

則，

∴二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，長軸長為4，且過點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，過A作x軸的垂線交橢圓C與另一點(diǎn)Q（Q不與重合）.設(shè)的外心為G，求證為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年是我國垃圾分類逐步凸顯效果關(guān)鍵的一年.在國家高度重視，重拳出擊的前提下，高強(qiáng)度、高頻率的宣傳教育能有效縮短我國生活垃圾分類走入世界前列所需的時(shí)間，打好垃圾分類這場“持久戰(zhàn)”，“全民戰(zhàn)”.某市做了一項(xiàng)調(diào)查，在一所城市中學(xué)和一所縣城中學(xué)隨機(jī)各抽取15名學(xué)生，對(duì)垃圾分類知識(shí)進(jìn)行問答，滿分為100分，他們所得成績?nèi)缦拢?/span>

城市中學(xué)學(xué)生成績分別為：73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85

縣城中學(xué)學(xué)生成績分別為：60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72

（1）根據(jù)上述兩組數(shù)據(jù)在圖中完成兩所中學(xué)學(xué)生成績的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩所中學(xué)學(xué)生成績的平均分及分散程度；（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）

（2）記這30名學(xué)生成績80分以上為良好，80分以下為一般，完善表格，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該城市中學(xué)和縣城中學(xué)的學(xué)生在了解垃圾分類知識(shí)上有差異？（結(jié)果保留三位小數(shù)）

學(xué)生成績

良好

一般

合計(jì)

城市中學(xué)學(xué)生

縣城中學(xué)學(xué)生

合計(jì)

附：.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C與x軸交于A、B兩點(diǎn)，直線和與直線l：分別交于點(diǎn)M，N，試探究以為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)：若否，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).

（1）若，且恰為線段的中點(diǎn)，求證：線段的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)；

（2）若，設(shè)分別為 的左、右頂點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)異于時(shí)，是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意，任意，不等式恒成立時(shí)最大的記為，當(dāng)時(shí)，的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】菱形中，平面，，，

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）線段上是否存在點(diǎn)使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），且的周長為6，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交于點(diǎn).

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，菱形與正方形所在平面相交于.

（1）求作平面與平面的交線，并說明理由；

（2）若與垂直且相等，求二面角的余弦值.

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