【題目】已知點(diǎn)P為橢圓C:1(a>b>0)上一點(diǎn),F1,F2分別是橢圓C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),|PF1|=2|PF2|,且cos∠F1PF2,過點(diǎn)F2且斜率為k的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若點(diǎn)M(1,)在C上,求△MAB面積的最大值.
【答案】(1).(2)3
【解析】
(1)由余弦定理得,與關(guān)系,求出,的比值即是離心率的值;(2)由題意設(shè)直線與橢圓聯(lián)立求出弦長,再求到直線距離求出面積,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最大值.
(1)在△PF1F2中,設(shè)|PF2|=x,則|PF1|=2x,cos∠F1PF2,
由余弦定理得,(2c)2=x2+(2x)2﹣2x2xcos∠F1PF2=5x2﹣4x2,
∴xc,2xc,所以2a=x+2x=4c∴e,
所以橢圓的離心率為.
(2)由(1)得:b2=a2﹣c2=3c2,橢圓的方程為:1,
點(diǎn)M在橢圓上,1,
∴c2=1,b2=3,a2=4,
所以橢圓的方程為1.右焦點(diǎn)(1,0),
設(shè)直線l的方程:y=k(x﹣1),A(x,y),B(x',y'),
當(dāng)k=0時(shí),|AB|=2a=4,M到l的距離為,S△MAB3,
當(dāng)k≠0時(shí),聯(lián)立與橢圓的方程整理得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,
所以x+x',xx',
弦長|AB||x﹣x'|12,
M在直線l的距離d,
所以S△MAB|AB|d=99,
設(shè)t=,
,分母是一個(gè)增函數(shù)(增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)),
所以是一個(gè)減函數(shù),
所以93,
綜上△MAB面積的最大值為3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折起,得到如圖2所示的四棱錐D1—ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)證明:BE⊥平面D1AE;
(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與軸和y軸分別交于A,B兩點(diǎn),P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求△PAB面積的最大值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為 (其中為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求C的普通方程和直線的傾斜角;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)(0,2),和交于兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校隨機(jī)抽取部分男生測(cè)試立定跳遠(yuǎn),將成績整理得到頻率分布表如表,測(cè)試成績?cè)?/span>220厘米以上(含220厘米)的男生定為“合格生”,成績?cè)?/span>260厘米以上(含260厘米)的男生定為“優(yōu)良生”.
分組(厘米) | 頻數(shù) | 頻率 |
[180,200) | 0.10 | |
[200,220) | 15 | |
[220,240) | 0.30 | |
[240,260) | 0.30 | |
[260,280) | 0.20 | |
合計(jì) | 1.00 |
(1)求參加測(cè)試的男生中“合格生”的人數(shù).
(2)從參加測(cè)試的“合格生”中,根據(jù)表中分組情況,按分層抽樣的方法抽取8名男生,再從這8名男生中抽取3名男生,記X表示3人中“優(yōu)良生”的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心在直線: 上,與直線: 相切,且截直線: 所得弦長為6
(Ⅰ)求圓的方程
(Ⅱ)過點(diǎn)是否存在直線,使以被圓截得弦為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,寫出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓過兩點(diǎn), ,且圓心在直線上.
(Ⅰ)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)直線過點(diǎn)且與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn), ,若直線的斜率大于0,求的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否存在直線使得弦的垂直平分線過點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,,平面平面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面,并說明理由;
(Ⅱ)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求直線與平面所成的角.
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