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已知P是圓F1：（x+1）2+y2=8上任意一點，又F2（1，0），直線m分別與線段F1P，F2P交于M，N兩點，且
MN
=
1
2
（
MF2
+
MP
），|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）直線x=my+2與橢圓交于A、B兩點，點D在橢圓上，且
OA
+
OB
=λ
OD
，E（-
2
m
，
m-2
m
），設△EAB的面積為S，若0＜S≤1，求λ的取值范圍．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應用,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由
MN
=
1
2
（
MF2
+
MP
），|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．可得MN是線段F2P垂直平分線，再利用橢圓的定義即可得出．
（2）將直線的方程為x=my+2代入橢圓方程可得（2+m2）x2-8x+8-2m2=0，由△＞0即m2＞2，設A（x1，y1），B（x2，y2），利用根與系數的關系可得|AB|=
(1+
1
m2
)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2
2
(1+m2)(m2-2)
2+m2
．利用點到直線的距離公式可得：E到直線AB的距離為d，則d=
2+m2
|m|
1+m2
．可得S=
1
2
|AB|d=
2
m2-2
|m|
．由題意：0＜S≤1 解得：2＜m2≤4．設D（x0，y0），由
OA
+
OB
=λ
OD
，可得x0=
1
λ
（x1+x2），y0=
1
λ
（y1+y2），利用P、A、B三點均在橢圓上，可得2+x1x2+2y1y2=λ2，
可得λ2=
16
2+m2
，即可得出．
解答： 解：（1）∵|
MN
|=
1
2
（
MF2
+
MP
），
∴N是F2P中點，
又∵|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
∴
NM
?
F2P
=0 
∴MN是線段F2P垂直平分線，
∴|MF1|+|MF2|=|F1P|=2
2
＞|F1F2|．
∴M的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓，2a=2
2
，c=1，
∴M的軌跡C的方程
x2
2
+y2=1．
（2）將直線的方程為x=my+2代入
x2
2
+y2=1得
（2+m2）x2-8x+8-2m2=0
∴△=64-8（2+m2）（4-m2）=8m2（m2-2）＞0即m2＞2，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=
8
2+m2
，x1x2=
8-2m2
2+m2
，
|AB|=
(1+
1
m2
)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+
1
m2
)[(
8
2+m2
)2-
4(8-2m2)
2+m2
]
=
2
2
(1+m2)(m2-2)
2+m2
．
設E到直線AB的距離為d，則d=
|-
2
m
-m•
m-2
m
-2|
1+m2
=
2+m2
|m|
1+m2

∴S=
1
2
|AB|d=
1
2
×
2
2
(1+m2)(m2-2)
2+m2
×
2+m2
|m|
1+m2
=
2
m2-2
|m|
．
由題意：0＜
2
m2-2
|m|
≤1 解得：2＜m2≤4．
設D（x0，y0），由
OA
+
OB
=λ
OD
，
∴x0=
1
λ
（x1+x2），y0=
1
λ
（y1+y2）
∵P、A、B三點均在橢圓上，
∴
x
2
0
2
+y02=1，
x
2
1
2
+y12=1，
x
2
2
2
+y22=1，
∴
1
λ2
•
(x1+x2)2
2
+
1
λ2
•（y1+y2）2=1，
化為
(x1+x2)2
2
+（y1+y2）2=λ2 ，
∴
x
2
1
+
x
2
2
2
+x1x2+y12+y22+2y1y2=λ2，
∴2+x1x2+2y1y2=λ2，
y1y2=
1
m2
（x1-2）（x2-2）=
1
m2
[（x1x2-2（x1+x2）+4]=
2
2+m2
，
2+
8-2m2
2+m2
+2×
2
2+m2
=λ2，即λ2=
16
2+m2
，
∴
8
3
≤λ2＜4
∴λ的取值范圍是（-2，-
2
6
3
]∪[
2
6
3
，2）．
點評：本題考查了橢圓的定義及其標準方程、直線與橢圓直角轉彎方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、向量的平行四邊形法則與數量積運算、線段的垂直平分線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點F是側面CDD1C1的中心，若
AF
=
AD
+x
AB
+y
AA1
，則x-y等于
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）在x=a處有導數，則
lim
h→a
f(h)-f(a)
h-a
為（　�。�
A、f（a）B、f′（a）
C、f′（h）D、f（h）

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科目：高中數學 來源： 題型：

直線x=0，x=2，y=0與曲線y=x2+1圍成的曲邊梯形，將區(qū)間[0，2]5等分，按照區(qū)間左端點和右端點估計梯形面積分別為
 
、
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點，設E是棱DD1上的點，且
DE
=
2
3
DD1
，若
EO
=x
AB
+y
AD
+z
AA1
，則x+y+z的值為（　�。�
A、
5
6
B、-
5
6
C、-
2
3
D、
4
5

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科目：高中數學 來源： 題型：

給定△ABC，若點D滿足
AD
=
2
3
AB
，
CD
=
1
3
CA
+λ
CB
，則λ等于（　�。�
A、
2
3
B、
1
3
C、-
1
3
D、-
2
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，AB=2，AD=2
2
，PA=2，則異面直線BC與AE所成的角的大小為（　�。�
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓x2+y2=8，過點P0（-1，2）的直線l與圓交于A、B兩點，O為坐標原點，分別求滿足下列條件時直線l的方程：
（1）|AB|=
14
；
（2）
OA
•
OB
=-6．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知cos2α-cos2β=a，那么sin（α+β）sin（α-β）等于（　�。�
A、-
a
2
B、
a
2
C、-a
D、a

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