如圖,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).

(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.

（1）見解析  （2）30°   （3）存在，2∶1

解析(1)證明:連接BD,設(shè)AC交BD于O,

由題意知SO⊥AC.
在正方形ABCD中,AC⊥BD,
所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.
解:(2)設(shè)正方形邊長為a,
則SD=a,
又OD=a,所以∠SDO=60°,
連接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,
所以AC⊥OP,且AC⊥OD,
所以∠POD是二面角PACD的平面角.
由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,
即二面角PACD的大小為30°.
(3)在棱SC上存在一點(diǎn)E,使BE∥平面PAC.
由(2)可得PD=a,
故可在SP上取一點(diǎn)N,使PN=PD.
過N作PC的平行線與SC的交點(diǎn)即為E.
連接BN,在△BDN中,知BN∥PO.
又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,
得BE∥平面PAC.
由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正方體中，已知為棱上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；
（2）當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐，底面是矩形，平面底面，，平面，且點(diǎn)在上.

（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積；
（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且滿足，試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).

求證:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，是AC的中點(diǎn)，已知，.

（1）求證：OD//平面VBC；
（2）求證：AC⊥平面VOD；
（3）求棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示,在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中,AD∥BC,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.

(1)求證:BD⊥PC;
(2)求直線AB與平面PDC所成的角;
(3)設(shè)點(diǎn)E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖①，E、F分別是直角三角形ABC邊AB和AC的中點(diǎn)，∠B＝90°，沿EF將三角形ABC折成如圖②所示的銳二面角A1EFB，若M為線段A1C的中點(diǎn)．求證：

(1)直線FM∥平面A1EB；
(2)平面A1FC⊥平面A1BC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1中點(diǎn)．
 
(1)求證：AB1⊥BF；
(2)求證：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在點(diǎn)F，使BF⊥平面AEP，若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，多面體ABC－A1B1C1中，三角形ABC是邊長為4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.

(1)若O是AB的中點(diǎn)，求證：OC1⊥A1B1；
(2)在線段AB1上是否存在一點(diǎn)D，使得CD∥平面A1B1C1，若存在，確定點(diǎn)D的位置；若不存在，請說明理由．

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