Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB=

2

AD=2，CD=3，直線PA與底面ABCD所成角為60°，點M、N分別是PA，PB的中點．
（1）求證：MN∥平面PCD；
（2）求證：四邊形MNCD是直角梯形；
（3）求證：DN⊥平面PCB．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線性質(zhì)證明MN∥AB，再由已知條件和公理4證明MN∥CD，再利用直線和平面平行
的判定定理證得MN∥平面PCD．
（2）由（1）可得MN∥CD．先由條件利用直線和平面垂直的判定證明CD⊥平面PAD，從而證得CD⊥MD，從而
得到四邊形MNCD是直角梯形．
（3）由條件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=

6

，N是PB的中點，
證得DN⊥PB，再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理證得DN⊥平面PCB．

解答：證明：（1）因為點M，N分別是PA，PB的中點，所以MN∥AB．…（2分）
因為CD∥AB，所以MN∥CD．
又CD?平面PCD，而MN?平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（4分）
（2）由（1）可得MN∥CD．
因為AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD． 又因為PD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥PD，又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD．…（6分）
因為MD?平面PAD，所以CD⊥MD，所以四邊形MNCD是直角梯形．…（8分）
（3）因為PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直線PA與底面ABCD所成的角，從而∠PAD=60°．  …（9分）
在Rt△PDA中，AD=2，PD=

6

，PA=2

2

，MD=

2

．
在直角梯形MNCD中，MN=1，ND=

3

，CD=3，CN=

MD2+(CD-MN)2

=

6

，
從而DN²+CN²=CD²，所以DN⊥CN．   …（11分）
連接BD，在Rt△PDB中，PD=DB=

6

，N是PB的中點，則DN⊥PB．…（13分）
又因為PB∩CN=N，所以DN⊥平面PCB．     …（14分）

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，以及直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)性質(zhì)定理的應(yīng)用，
屬于中檔題．