四面體ABCD中,AD=BC=a,　BD=AC=b,　AB=CD=c,以它們?yōu)槔?相應(yīng)兩個面為面的二面角依次為α、β、γ.?

       (1)求證:;?

       (2)求四面體ABCD的體積;?

       (3)若a=5,b=4,c=6,求α的正弦值;?

       (4)求AD與平面BCD所成的角〔條件同(3)〕;?

       (5)條件同(3),求四面體的外接球半徑.

(1)證明:作CE⊥AD交AD于E.?

作CH⊥面ABD交ABD于H.?

連結(jié)EH,記CH長為h,CE為ha.?

∵CH⊥面ABD,CE⊥AD,?

∴HE⊥AD,sinα=.?

又a·ha·=S,?

∴.?

為常量.同理,.?

∴.?

(2)解析：過點(diǎn)C作GF∥DB.C為GF中點(diǎn),連結(jié)GD并延長至E.DE=DG.連結(jié)EF、AE、AG、AF.

∵AC=GF,∴AG⊥AF.?

同理可得EA⊥FA,AE⊥AG.?

設(shè)AE=x,AF=z,AG=y.?

解得

∴VE—AGF?=xyz,?

VA—DBC?=VE—AGF?,?

VABCD?=.?

 

(3)解析：V=?

=×5×3×3=.?

cosθ=.?

∴S=sinθab=××5×4=.?

∴d=.∴sinα=.?

(4)解析：設(shè)所成角為γ.?

sinγ=.?

(5)解析：把四面體ABCD補(bǔ)成長方體,設(shè)其邊長為x、y、z,則有?

x2+y2=a2,                  ①?

y2+z2=b2,                  ②?

z2+x2=c2.                  ③?

(①+②+③),得(2R)2=a2+b2+c2.?

∴R=.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四面體ABCD中，設(shè)AB=1，CD=2且AB⊥CD，若異面直線AB與CD間的距離為2，則四面體ABCD的體積為（　　）
A、
1
3
B、
1
2
C、
2
3
D、
4
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四面體ABCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩互相垂直，且其長分別為1，
6
，3．若四面體的四個頂點(diǎn)同在一個球面上，則這個球的半徑為
 
，其體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影．
（Ⅰ）求直線EF與直線BC所成角的大小；
（Ⅱ）求點(diǎn)O到平面ACD的距離；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四面體ABCD中，平面EFGH分別平行于棱CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形．
（2）設(shè)
DEDB
=λ(0＜λ＜1)，問λ為何值時，四邊形EFGH的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）在四面體ABCD中，三組對棱棱長分別相等且依次為
34
，
41
，5則此四面體ABCD的外接球的半徑R為（　�。�

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