已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為
5
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標(biāo)為-
1
2
，求斜率k的值；
②已知點M(-
7
3
，0)，求證：
MA
•
MB
為定值．
（1）因為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)滿足a2=b2+c2，
c
a
=
6
3
，…（2分）
根據(jù)橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為
5
2
3
，可得
1
2
×b×2c=
5
2
3
．
從而可解得a2=5，b2=
5
3
，
所以橢圓方程為
x2
5
+
y2
5
3
=1…（4分）
（2）證明：①將y=k（x+1）代入
x2
5
+
y2
5
3
=1中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0…（6分）
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
6k2
3k2+1
…（7分）
因為AB中點的橫坐標(biāo)為-
1
2
，所以-
3k2
3k2+1
=-
1
2
，解得k=±
3
3
…（9分）
②由①知x1+x2=-
6k2
3k2+1
，x1x2=
3k2-5
3k2+1

所以
MA
•
MB
=(x1+
7
3
，y1)(x2+
7
3
，y2)=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+y1y2…（11分）
=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(
7
3
+k2)(x1+x2)+
49
9
+k2…（12分）
=(1+k2)
3k2-5
3k2+1
+(
7
3
+k2)(-
6k2
3k2+1
)+
49
9
+k2=
-3k4-16k2-5
3k2+1
+
49
9
+k2=
4
9
…（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T．求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值時m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其中a2=4c，直線l：3x-2y=0與橢圓的交點在x軸上的射影恰為橢圓的焦點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓在x軸上方的一個交點為P，F(xiàn)是橢圓的右焦點，試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點M是曲線C上任一點，點M到點F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點P（0，2）的直線L交曲線C于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

AB是過拋物線x2=y的焦點一條弦，若AB的中點到x軸的距離為1，則弦AB的長度為（　　）
A．
5
2
B．
5
4
C．2D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)直線y=x+1與橢圓
x2
2
+y2=1相交于A，B兩點，則|AB|=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點F是橢圓W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點與上頂點，橢圓的離心率為
1
2
，三角形ABF的面積為
3
3
2
，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對于x軸上的點P（t，0），橢圓W上存在點Q，使得PQ⊥AQ，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點M、N（M、N異于橢圓的左右頂點），若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦點分別為F1、F2，過焦點F1的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為π．A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1）和（x2，y2），則|y2-y1|的值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知直線與橢圓
x2
9
+
y2
4
=1交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為P，若直線的斜率為k1，直線OP的斜率為k2，則k1k2等于______．

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同步練習(xí)冊答案