Question

已知命題p：方程

x2

16-m

+

y2

m-4

=1表示焦點在x軸上的橢圓；命題q：點（m，4）在圓（x-10）²+（y-1）²=13內．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q為真命題的等價條件，然后根據若p∨q為真命題，p∧q為假命題，得到命題p，q為一真一假，然后求出實數m的取值范圍．

解答：解：方程

x2

16-m

+

y2

m-4

=1表示焦點在x軸上的橢圓，則

16-m＞0 m-4＞0 16-m＞m-4

，解得

m＜16 m＞4 m＜10

，即4＜m＜10．即p：4＜m＜10．
若（m，4）在圓（x-10）²+（y-1）²=13，則

(m-10)2+(4-1)2

＜

13

，即（m-10）²＜4，即-2＜m-10＜2，所以8＜m＜12．即q：8＜m＜12．
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，得到命題p，q為一真一假，
若p真q假，則

4＜m＜10 m≥12或m≤8

，解得4＜m≤8．
若p假q真，則

8＜m＜12 m≥10或m≤4

，解得10≤m＜12．
綜上實數m的取值范圍是4＜m≤8或10≤m＜12．

點評：本題主要考查復合命題的真假應用，將條件進行等價化簡是解決本題的關鍵．