Question

“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ氐哪撤N生物，甲乙兩個(gè)生物小組分別獨(dú)立開展對(duì)該生物離開恒溫箱的成活情況進(jìn)行研究，每次試驗(yàn)一個(gè)生物，甲組能使生物成活的概率為

1

3

，乙組能使生物成活的概率為

1

2

，假定試驗(yàn)后生物成活，則稱該試驗(yàn)成功，如果生物不成活，則稱該次試驗(yàn)是失敗的．
（1）甲小組做了三次試驗(yàn)，求至少兩次試驗(yàn)成功的概率；
（2）如果乙小組成功了4次才停止試驗(yàn)，求乙小組第四次成功前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率；
（3）若甲乙兩小組各進(jìn)行2次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功的總次數(shù)為ξ，求ξ的期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用古典概率計(jì)算公式結(jié)合排列組合知識(shí)，能求出至少兩次試驗(yàn)成功的概率．
（2）根據(jù)乙小組在第四次成功前共有三次失敗，可知乙小組共進(jìn)行了6次試驗(yàn)，其中三次成功三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗，所以各種可能的情況數(shù)為

A

2 4

=12種，由此能求出結(jié)果．
（3）由題意ξ的取值為0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的期望．

解答： 解：（1）甲小組做了三次試驗(yàn)，至少兩次試驗(yàn)成功的概率為：
P（A）=

C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)

+C

3 3

(

1

3

)3=

7

27

．
（2）根據(jù)乙小組在第四次成功前共有三次失敗，
可知乙小組共進(jìn)行了6次試驗(yàn)，其中三次成功三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗，
所以各種可能的情況數(shù)為

A

2 4

=12種，
所以所求的概率為P（B）=12×(

1

2

)3×(

1

2

)3×

1

2

=

3

32

．
（3）由題意ξ的取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2•

C

0 2

(

1

2

)2=

1

9

，
P（ξ=1）=

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)•

C

0 2

(

1

2

)2+

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2

•C

1 2

(

1

2

)2=

1

3

，
P（ξ=2）=

C

2 2

(

1

3

)2(

2

3

)0•

C

0 2

(

1

2

)2+

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)

•C

1 2

(

1

2

)2+

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2•

C

2 2

(

1

2

)2=

13

36

，
P（ξ=3）=

C

2 2

•(

1

3

)2•(

2

3

)0

•C

1 2

•(

1

2

)2+

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)

•C

2 2

(

1

2

)2=

1

6

，
P（ξ=4）=

C

2 2

(

1

3

)2(

2

3

)0•

C

2 2

(

1

2

)2=

1

36

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 9	1 3	13 36	1 6	1 36

Eξ=0×

1

9

+1×

1

3

+2×

13

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．