Question

（2014•瀘州一模）設(shè)平面向量

a

=（

3

sinx，2cosx），

b

=（2sin（

π

2

-x），cosx），已知f（x）=

a

•

b

+m在[0，

π

2

]上的最大值為6．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若f(

π

2

+x0)=

14

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]．求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出f（x），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦哈納斯的值域確定出f（x）的最大值，即可求出m的值；
（Ⅱ）根據(jù)第一問確定出的函數(shù)解析式，由f（

π

2

+x₀）=

14

5

，求出sin（2x₀+

π

6

）的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（2x₀+

π

6

）的值，所求式子變形后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

+m=

3

sinx•2sin（

π

2

-x）+2cos²x+m=

3

sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+

π

6

）+1+m，
∵x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=2+1+m=6，
∴m=3；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4，
∴f（

π

2

+x₀）=2sin[2（

π

2

+x₀）+

π

6

]+4=

14

5

，
即sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，
∵x₀∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴cos（2x₀+

π

6

）＜0，
∴cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，
則cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=

3

2

cos（2x₀+

π

6

）+

1

2

sin（2x₀+

π

6

）=-

4

5

×

3

2

+

1

2

×

3

5

=

3-4 3

10

．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．