Question

已知，函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍；
（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點(diǎn)，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）(1) 單調(diào)遞增區(qū)間為 ;(2) ;(Ⅱ)詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）(1)根據(jù)求出的值，然后利用,得到函數(shù)在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的，從而寫出其單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí)，將不等式化簡，整理為在區(qū)間上有解問題，可以反解,利用不等式在區(qū)間上有解，即大于等于其最小值，轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間上的最小值，
（Ⅱ）的對(duì)稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．然后對(duì)猜測進(jìn)行證明，首先求其兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即兩切線的斜率，利用平行及斜率相等，證明,.
試題解析：（Ⅰ）（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044804435413.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，        1分
則，
而恒成立，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．        4分
（2）不等式在區(qū)間上有解，
即不等式在區(qū)間上有解，
即不等式在區(qū)間上有解，
等價(jià)于不小于在區(qū)間上的最小值．      6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044804716487.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，，
所以的取值范圍是．        9分
Ⅱ.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044804778508.png" style="vertical-align:middle;" />的對(duì)稱中心為，
而可以由經(jīng)平移得到，
所以的對(duì)稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，
則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．        10分
對(duì)猜想證明如下：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240448049811079.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
所以，的斜率分別為，．
又直線與平行，所以，即，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044805168389.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，        12分
從而，
所以．
又由上，
所以點(diǎn)，（）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
故當(dāng)直線與平行時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．        14分