Question

已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時， 在上單調(diào)遞增；（3）實數(shù)的取值范圍為.

試題分析：（1）當(dāng)時，先確定，接著求出，進而求出，最后由直線的點斜式即可寫出所求的切線方程；（2）先確定函數(shù)的定義域，設(shè)，接著針對這個二次函數(shù)開口方向及與軸正半軸有多少個交點的問題分、、三類進行討論，進而確定各種情況下的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后將各個情況綜合描述即可；（3）法一：先將至少存在一個，使得成立的問題等價轉(zhuǎn)化為：令，等價于“當(dāng) 時，”，進而求取即可解決本小問；法二：設(shè)，定義域為，進而將問題轉(zhuǎn)化為等價于當(dāng) 時，，從中對參數(shù)分、、、，進行求解即可.
函數(shù)的定義域為，   1分
（1）當(dāng)時，函數(shù)，，
所以曲線在點處的切線方程為
即         4分
（2）函數(shù)的定義域為
1.當(dāng)時，在上恒成立
則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減     5分
2.當(dāng)時，
（�。┤�
由，即，得或      6分
由，即，得         7分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為  9分
（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調(diào)遞增                        10分
綜上可知：時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時， 在上單調(diào)遞增
（3）因為存在一個使得
則，等價于                   12分
令，等價于“當(dāng) 時，”
對求導(dǎo)，得                 13分
因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增
所以，因此                16分
另解：設(shè)，定義域為

依題意，至少存在一個，使得成立
等價于當(dāng) 時，               11分
（1）當(dāng)時
在恒成立，所以在單調(diào)遞減，只要
則不滿足題意        12分
（2）當(dāng)時，令得
（�。┊�(dāng)，即時
在上，所以在上單調(diào)遞增
所以，由得，，所以   13分
（ⅱ）當(dāng)，即時
在上，所以在單調(diào)遞減
所以，由得      14分
（ⅲ）當(dāng)，即時， 在上，在上
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
，等價于或，解得，所以，       15分
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為               16分.