Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣lnx．
（參考數(shù)據(jù)：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）
（1）求證：函數(shù)f（x）有且只有一個極值點x0；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；
（3）求證：f（x）＞2.3對x∈（0，+∞）恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=ex﹣ ，

∵函數(shù)y=ex和y=﹣ 在（0，+∞）均遞增，

∴f′（x）在（0，+∞）遞增，

而f′（ ）= ﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，

∴f′（x）在（ ，1）上存在零點，記x0，

且f′（x）在x0左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，

綜上，f′（x）有且只有一個零點x0，

即函數(shù)f（x）有且只有一個極值點x0

（2）解：∵ln =ln5﹣ln3≈0.51＜ ＞ ，

且f′（x）在[ ， ]上的圖象連續(xù)，

f′（ ）＜0，f′（ ）= ﹣ ＞0，

∴f′（x）的零點x0∈（ ， ），

即f（x）的極值點x0∈（ ， ），即x0∈（0.5，0.6），

∴x0的近似值x′可以取x′=0.55，

此時的x′滿足|x′﹣x0|＜0.6﹣.05=0.1

（3）證明：∵ln =ln7﹣2ln2≈0.56＜ ＞ ，

且f′（x）在[ ， ]上圖象連續(xù)，

f′（ ）＜0，f′（ ）= ﹣ ＞0，

∴f′（x）的零點x0∈（ ， ），

f（x）的極值點x0∈（ ， ）x0＜ ，

由（1）知：f′（x0）= ﹣ =0，

且f（x）的最小值是f（x0）= ﹣lnx0= ﹣lnx0，

∵函數(shù)g（x）= ﹣lnx在（0，+∞）遞減，且x0＜ ，

∴g（x0）＞g（ ）=1.75﹣（2ln2﹣ln7）≈2.31＞2.3，

∴f（x）≥f（x0）= ﹣lnx0＞2.3對x∈（0，+∞）恒成立

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求出零點的范圍，從而證出極值點的個數(shù)；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出零點的范圍，即極值點的范圍，求出滿足條件的零點的近似值即可；（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)零點的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．