Question

若直線l：ax+by=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)A（b，a），則以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的圓的面積取最小值時直線l的方程為

2

x+

2

y=2

．

Answer 1

分析：把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線方程求得ab=

1

2

，要使圓的面積取最小，只要r²=OA²=a²+b² 最�。�利用基本不等式求得r² 最小時的a、b的值，即可得到圓的面積取最小值時直線l的方程．

解答：解：∵直線l：ax+by=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)A（b，a），∴ab+ba=1，即ab=

1

2

．
由于半徑OA=r，要使OA長為半徑的圓的面積取最小，只要r²=OA²=a²+b² 最�。�
由基本不等式可得 a²+b²≥2ab=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

2

2

時，取等號，故r²的最小值為1，
故以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的圓的面積取最小值時直線l的方程為

2

2

x+

2

2

y=1，
即

2

x+

2

y=2，
故答案為

2

x+

2

y=2．

點(diǎn)評：本題主要考查基本不扥等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．