Question

試討論函數(shù)f（x）=

x

x2+1

的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：討論x＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)性與x＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)性即可．

解答： 解：∵x＞0時(shí)，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2 x• 1 x

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立；
∴在x∈（0，1）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≥

1

-2 (-x)• 1 -x

=-

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)“=”成立；
∴在x∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，x∈（-1，0）時(shí)，f（x）是增函數(shù)；
x=0時(shí)，f（0）=0；
如圖所示；
綜上，當(dāng)x∈（-∞，-1）和x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（-1，0）和x∈（0，1）時(shí)，f（x）是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)用分類討論的方法，結(jié)合基本不等式，并且畫出圖形，便于解得問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．