一個(gè)如圖所示的不規(guī)則形鐵片，其缺口邊界是口寬4分米，深2分米（頂點(diǎn)至兩端點(diǎn)所在直線(xiàn)的距離）的拋物線(xiàn)形的一部分，現(xiàn)要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形．
（1）若保持其缺口寬度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值；
（2）若保持其缺口深度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值．

（1）6，（2）.

解析試題分析：（1）由題意得：保持其缺口寬度不變，需在A,B點(diǎn)處分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn). 以?huà)佄锞�(xiàn)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，從而邊界曲線(xiàn)的方程為，．因?yàn)閽佄锞�(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，所以，切線(xiàn)方程為，與軸的交點(diǎn)為．此時(shí)梯形的面積平方分米，即為所求．（2）若保持其缺口深度不變，需使兩腰分別為拋物線(xiàn)的切線(xiàn). 設(shè)梯形腰所在直線(xiàn)與拋物線(xiàn)切于時(shí)面積最小．此時(shí)，切線(xiàn)方程為，其與直線(xiàn)相交于，與軸相交于．此時(shí)，梯形的面積，．故，當(dāng)時(shí)，面積有最小值為．
解：（1）以?huà)佄锞�(xiàn)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，
從而邊界曲線(xiàn)的方程為，．
因?yàn)閽佄锞�(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，
所以，切線(xiàn)方程為，與軸的交點(diǎn)為．
此時(shí)梯形的面積平方分米，即為所求．
（2）設(shè)梯形腰所在直線(xiàn)與拋物線(xiàn)切于時(shí)面積最�。�
此時(shí)，切線(xiàn)方程為，
其與直線(xiàn)相交于，
與軸相交于．                                 
此時(shí)，梯形的面積，．……11分
（這兒也可以用基本不等式，但是必須交代等號(hào)成立的條件）
=0，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故，當(dāng)時(shí)，面積有最小值為．                  
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù) ，．
(1）當(dāng)  時(shí)，求函數(shù)  的最小值；
(2）當(dāng) 時(shí)，求證：無(wú)論取何值，直線(xiàn)均不可能與函數(shù)相切；
(3）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的 ，且，有恒成立，若存在求出的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；
（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)的圖像與直線(xiàn)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

某公司經(jīng)銷(xiāo)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為6元，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（）時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為萬(wàn)件。
（1）求公司一年的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少時(shí)，公司的一年的利潤(rùn)y最大，求出y最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過(guò)20件，每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量(件)之間近似地滿(mǎn)足關(guān)系式(日產(chǎn)品廢品率)．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車(chē)間的日利潤(rùn)日正品贏利額日廢品虧損額）
（1）將該車(chē)間日利潤(rùn)(千元)表示為日產(chǎn)量(件)的函數(shù)；
（2）當(dāng)該車(chē)間的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)是幾千元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)()
（1）若在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)，求在上的最大值；
（3）試證明：對(duì)任意，不等式都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題


已知是的導(dǎo)函數(shù)，，且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).
（1）求函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.

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