Question

點(diǎn)S，A，B，C是球O的球面上的四個(gè)點(diǎn)，S，O在平面ABC的同側(cè)，∠ABC=120°，AB=BC=2，平面SAC⊥平面ABC，若三棱錐S-ABC的體積為

3

，則該球的表面積為（　　）

• A、18π
• B、16π
• C、20π
• D、25π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離,球

分析：求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出O到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過(guò)勾股定理求出球的半徑，即可求解球的表面積．

解答： 解：三棱錐O-ABC，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，且AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴BC=2

3

，
∴∴△ABC外接圓半徑2r=

2 3

sin120°

=4，即r=2
∴S_△ABC=

1

2

×2×2×sin120°=

3

，
∵三棱錐S-ABC的體積為

3

，
∴S到底面ABC的距離h=3，
由平面SAC⊥平面ABC，可將已知中的三棱錐S-ABC補(bǔ)成一個(gè)同底等高的棱柱，

則圓心O到平面ABC的距離d=

3

2

球的半徑為：R²=d²+r²=

25

4

．
球的表面積：4πR²=25π．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．