Question

12．若直線ax+by+1=0（ab＞0）被圓（x+4）²+（y+1）²=16截得的弦長為8，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 12
• C． 16
• D． 20

Answer 1

分析 由題意直線ax+by+1=0（其中a＞0且b＞0）經(jīng)過圓心（-4，-1），從而4a+b=1，進(jìn)而$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（4a+b），由此能求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值．

解答 解：∵直線ax+by+1=0（ab＞0）被圓（x+4）²+（y+1）²=16截得的弦長為8，
∴直線ax+by+1=0（其中a＞0且b＞0）經(jīng)過圓心（-4，-1），
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（4a+b）
=$\frac{16a}+\frac{a}+8$
≥2$\sqrt{\frac{16a}•\frac{a}}$+8=16．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16a}=\frac{a}$時，取等號，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為16．
故選：C．

點評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)和基本不等式的合理運(yùn)用．