【題目】如圖，幾何體中，為邊長為的正方形，為直角梯形，，，，，．

（1）求異面直線和所成角的大小；

（2）求幾何體的體積．

【答案】(1) ；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求異面直線所成的角，一般根據(jù)定義，過異面直線中的一條上某一點(diǎn)作中一條直線的平行線，把異面直線所成的角化為相交直線所夾的銳角或直角，而這可能通過在三角形中求得,如果圖形中有兩兩相互垂直且交于同一點(diǎn)的三條直線，那么我們可以建立空間直角坐標(biāo)系，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為空間兩向量的夾角，要注意異面直線所成的角的范圍是，而向量的夾角范圍是，解題時注意轉(zhuǎn)化；（2）這個幾何體我們要通過劃分，把它變成幾個可求體積的幾何體，如三棱錐和四棱錐，這兩個棱錐的體積都易求，故原幾何體的體積也易求得．

試題解析：（1）解法一：在的延長線上延長至點(diǎn)使得,連接.

由題意得，，，平面，

∴平面，∴，同理可證面.

∵ ，，

∴為平行四邊形，

∴.

則（或其補(bǔ)角）為異面直線和

所成的角. 3分

由平面幾何知識及勾股定理可以得

在中，由余弦定理得

．

∵ 異面直線的夾角范圍為，

∴ 異面直線和所成的角為． 7分

解法二：同解法一得所在直線相互垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線

分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 2分

可得，

∴ ，

得. 4分

設(shè)向量夾角為，則

．

∵ 異面直線的夾角范圍為，

∴ 異面直線和所成的角為． 7分

（２）如圖，連結(jié)，過作的垂線，垂足為，則平面，且. 9分

∵ 11分

.

∴ 幾何體的體積為. 14分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，直線， 分別與軸交于點(diǎn)， ．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．

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某港灣的平面示意圖如圖所示， ， ， 分別是海岸線上的三個集鎮(zhèn)， 位于的正南方向6km處， 位于的北偏東方向10km處．

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（Ⅱ）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)的交通壓力，擬在海岸線上分別修建碼頭，開辟水上航線．勘測時發(fā)現(xiàn)：以為圓心，3km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行．請確定碼頭的位置，使得之間的直線航線最短．

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（1）求拋物線的方程；

（2）若軸上存在一點(diǎn)，使線段經(jīng)過點(diǎn)時，以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求的值；

（3）在拋物線上存在點(diǎn)，滿足，若是以角為直角的等腰直角三角形，求面積的最小值.

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（1）求CE的長；
（2）求證：A1C⊥平面BED；
（3）求A1B與平面BDE夾角的正弦值．

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（1）求f（x）的最小正周期及對稱中心；
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