【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,PD⊥底面ABCD,點(diǎn)M、N分別是棱AB、CD的中點(diǎn).
(1)證明:BN⊥平面PCD;
(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)H,使得MH與平面PCD所成最大角的正切值為 ,若存在,請求出H點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)證明:連接BD,

∵四邊形ABCD為菱形,∠BCD=∠BAD=60°

∴△BCD為正三角形,∵N為CD中點(diǎn),所以BN⊥CD

∵PD⊥平面ABCD,BN平面ABCD,∴PD⊥BN,

又PD平面PCD,CD平面PCD,CD∩PD=D,∴BN⊥平面PCD


(2)解:假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)H,連接MH,DH,MD,

MBDN為平行四邊形,∴MD∥BN,

由(1)BN⊥平面PCD∴MD⊥平面PCD,∴∠MHD為MH與平面PCD所成的角

在直角三角形MDH中, ,當(dāng)DH最小,即DH⊥PC時(shí),∠DHM最大,

在Rt△DHC中 ,∴

∴線段PC上存在點(diǎn)H,當(dāng) 時(shí),使MH與平面PCD所成最大角的正切值為


【解析】(1)連接BD,證明:BN⊥CD,PD⊥BN,即可證明BN⊥平面PCD;(2)假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)H,連接MH,DH,MD,可得∠MHD為MH與平面PCD所成的角,在直角三角形MDH中, ,當(dāng)DH最小,即DH⊥PC時(shí),∠DHM最大,利用條件求出CH,即可得出結(jié)論.

練習(xí)冊系列答案
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C.由圓x2+y2=r2的面積S=πr2 , 推斷:橢圓 =1的面積S=πab
D.由(1+1)2>21 , (2+1)2>22 , (3+1)2>23 , …,推斷:對一切n∈N* , (n+1)2>2n

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x

f(x)

0

2

0

﹣2

0

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