Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+a_n=1，數(shù)列{b_n}滿足b_n+log₂a_n=0，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S_n-S_n-1=a_n（n≥2），求通項公式；
（2）利用裂項相消法求和

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，
兩式相減得S_n-S_n-1+a_n-a_n-1=0  （n≥2），
又由S_n-S_n-1=a_n，
可得a_n=

1

2

a_n-1  （n≥2），
根據(jù)s₁+a₁=2a₁=1，
得a₁=

1

2

，
所以a_n=

1

2n

；
（2）∵b_n+log₂a_n=0，a_n=

1

2n

，
∴b_n=-log₂a_n=log

1

2

(

1

2

)n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式及數(shù)列前n項和的求法---公式法及裂項法，屬中檔題．