(本小題滿(mǎn)分14分)

已知:數(shù)列是由正數(shù)組成的等差數(shù)列,是其前項(xiàng)的和,并且,.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)求不等式對(duì)一切均成立最大實(shí)數(shù);

(Ⅲ)對(duì)每一個(gè),在之間插入個(gè),得到新數(shù)列,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,試問(wèn)是否存在正整數(shù),使?若存在求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(Ⅰ)設(shè)的公差為,由題意,且,      2分

,數(shù)列的通項(xiàng)公式為  。                     3分

(Ⅱ)由題意對(duì)均成立,   4分

。

,增大而增大,      6分

的最小值為,

,即的最大值為。     8分

(Ⅲ),

在數(shù)列中,及其前面所有項(xiàng)之和為

,             10分

,即, 12分

在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為: ,                 13分

所以存在正整數(shù)使得。    14分

(第(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:∵n∈N,

∴只需證明成立。

(i)當(dāng)n=1時(shí),左=2,右=2,∴不等式成立。

(ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即

。

那么當(dāng)n=k+1時(shí),

以下只需證明。

即只需證明!

。

綜合(i)(ii)知,不等式對(duì)于n∈N都成立。

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(2011•廣東模擬)(本小題滿(mǎn)分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時(shí),求函數(shù)f(x)
的值域.

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(本小題滿(mǎn)分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P。(1)試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn),當(dāng)a變化時(shí),求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個(gè)。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。

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(本小題滿(mǎn)分14分)
已知=2,點(diǎn)()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(3)記,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,并證明.

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 (本小題滿(mǎn)分14分)

某網(wǎng)店對(duì)一應(yīng)季商品過(guò)去20天的銷(xiāo)售價(jià)格及銷(xiāo)售量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),第天()的銷(xiāo)售價(jià)格(單位:元)為,第天的銷(xiāo)售量為,已知該商品成本為每件25元.

(Ⅰ)寫(xiě)出銷(xiāo)售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)求該商品第7天的利潤(rùn);

(Ⅲ)該商品第幾天的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).

 

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(本小題滿(mǎn)分14分)已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.

⑴ 求,滿(mǎn)足的關(guān)系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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