【題目】如圖,在三棱錐中,是邊長為2的正三角形,是等腰直角三角形,.
(I)證明:平面平面ABC;
(II)點(diǎn)E在BD上,若平面ACE把三棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.
【答案】(I)證明見解析;(II)
【解析】
(I)取AC的中點(diǎn)O,連接OD,OB,推導(dǎo)出,,從而為二面角的平面角,由此即可證明平面平面ABC;
(II)以O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA、OB、OD分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求面面角即可.
(I)取AC的中點(diǎn)O,連接OD,OB,
由題設(shè)可知,是等腰直角三角形,且,從而.
所以,
又由于是正三角形,故.
所以為二面角的平面角.
在中,.
又,而,
所以.
故,所以平面平面ABC.
(II)由題設(shè)及(I)知,OA,OB,OD兩兩垂直,
以O為坐標(biāo)原點(diǎn), OA、OB、OD分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則.
由題設(shè)知,三棱維的體積為三棱錐的體積的.
從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,即E為DB的中點(diǎn),得.
故.
設(shè)是平面ACE的法向量,則,即,
令,得,故.
設(shè)是平面DCE的法問量,
則,即,
令,得,,
故.
則,
所以二面角的余弦值為.
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A.B.C.D.
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(2)若是首項(xiàng)為1,公差d為整數(shù)的等差數(shù)列,且=4,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和;
(3)若是等比數(shù)列,且對(duì)任意的n,,其中k≥2,試問:是等比數(shù)列嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
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③已知一個(gè)回歸直線方程為,則.
④數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為的一次函數(shù).
其中正確命題的充號(hào)為________.(把所有正確命題的序號(hào)都填上)
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.
(1)若,求角C的大小.
(2)若AC邊上的中線BM的長為2,求△ABC面積的最大值.
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