如圖,在三棱柱ABC­A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求證:AA1⊥平面ABC;
(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值;
(3)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求的值.
(1)見解析   (2)    (3) 見解析
解:(1)證明:因為四邊形AA1C1C為正方形,所以AA1⊥AC.
因為平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.
由題知AB=3,BC=5,AC=4,
所以AB⊥AC.
如圖,以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),

=(0,3,-4),=(4,0,0).
設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z),

令z=3,則x=0,y=4,所以n=(0,4,3).
同理可得,平面B1BC1的一個法向量為m=(3,4,0).
所以cos〈 n,m〉=.
由題知二面角A1­BC1­B1為銳角,
所以二面角A1­BC1­B1的余弦值為.
(3)證明:設(shè)D(x,y,z)是直線BC1上一點,且=λ.
所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).
解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ.
所以=(4λ,3-3λ,4λ).
·=0,即9-25λ=0,解得λ=.
因為∈[0,1],所以在線段BC1上存在點D,
使得AD⊥A1B.此時,=λ=.
練習(xí)冊系列答案
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