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【題目】已知集合，對于的一個子集，若存在不大于的正整數，使得對中的任意一對元素、，都有，則稱具有性質.

（1）當時，試判斷集合和是否具有性質？并說明理由；

（2）當時，若集合具有性質.

①那么集合是否一定具有性質？并說明理由；

②求集合中元素個數的最大值.

【答案】（1）不具有性質，具有性質，理由見解析；（2）①具有性質，理由見解析；②.

【解析】

（1）當時，集合，，根據性質的定義可知其不具有性質；，令，利用性質的定義即可驗證；

（2）當，則.

①根據，任取，其中，可得，利用性質的定義加以驗證即可說明集合具有性質；

②設集合有個元素，由①可知，任給，，則與中必有個不超過，從而得到集合與中必有一個集合中至少存在一半元素不超過，然后利用性質的定義進行分析即可求得，即，解此不等式得.

（1）當時，集合，不具有性質.

因為對任意不大于的正整數，

都可以找到該集合中的兩個元素與，使得成立.

集合具有性質.

因為可取，對于該集合中任一元素，，、.

都有；

（2）當時，則.

①若集合具有性質，那么集合一定具有性質.

首先因為，任取，其中.

因為，所以.

從而，即，所以.

由具有性質，可知存在不大于的正整數，

使得對中的任意一對元素、，都有.

對于上述正整數，從集合中任取一對元素，，其中、，則有.

所以，集合具有性質；

②設集合有個元素，由①可知，若集合具有性質，那么集合一定具有性質.

任給，，則與中必有一個不超過.

所以集合與中必有一個集合中至少存在一半元素不超過.

不妨設中有個元素、、、不超過.

由集合具有性質，可知存在正整數.

使得對中任意兩個元素、，都有.

所以一定有、、、.

又，故、、、.

即集合中至少有個元素不在子集中，

因此，所以，得.

當時，取，則易知對集合中的任意兩個元素、，都有，即集合具有性質.

而此時集合中有個元素，因此，集合元素個數的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】設函數，其中.

（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；

（Ⅱ）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

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【題目】如圖，B,C分別是海岸線上的兩個城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50處．從海島A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中銳角的正切值為）航行到海岸公路P處登陸，再換乘汽車到城市C．已知船速為25km/h，車速為75km/h.

（1）試建立由A經P到C所用時間與的函數解析式；

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【題目】在四棱錐中，平面平面，平面平面.

（Ⅰ）證明：平面；

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（1）請將兩家公司各一名推銷員的日工資 (單位: 元) 分別表示為日銷售件數的函數關系式;

（2）從兩家公司各隨機選取一名推銷員，對他們過去100天的銷售情況進行統計，得到如下條形圖.若將該頻率視為概率，分別求甲、乙兩家公司一名推銷員的日工資超過125元的概率.

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【題目】

在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，已知

（Ⅰ）求證：成等差數列；

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【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量(單位：t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數據進行了研究，發(fā)現年宣傳費x(萬元)和年銷售量y(單位：t)具有線性相關關系，并對數據作了初步處理，得到下面的一些統計量的值.

(1)根據表中數據建立年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程；

(2)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為，根據(1)中的結果回答下列問題：

①當年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預報值是多少?

②估算該公司應該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.

附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

參考數據：.

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【題目】已知函數（，且）.

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）求函數在上的最大值.

【答案】（Ⅰ）的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（Ⅱ）當時， ；當時， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導數來研究求得函數的單調區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，由此可知.利用導數和對分類討論求得函數在不同取值時的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設 ，則.

∵， ，∴在上單調遞增，

從而得在上單調遞增，又∵，

∴當時， ，當時， ，

因此， 的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設，

則 .

∵當時， ，∴在上單調遞增.

又∵，∴當時， ；當時， .

①當時， ，即，這時， ；

②當時， ，即，這時， .

綜上， 在上的最大值為：當時， ；

當時， .

[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．

【題型】解答題
【結束】
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為 .

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