Question

求直線(xiàn)l₁:y=2x+3關(guān)于直線(xiàn)l:y=x+1對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l₂的方程.

Answer 1

直線(xiàn)l₂的方程為x-2y=0

方法一 由
知直線(xiàn)l₁與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），
∴設(shè)直線(xiàn)l₂的方程為y+1=k(x+2),
即kx-y+2k-1=0.
在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)（1，2），
由題設(shè)知點(diǎn)（1，2）到直線(xiàn)l₁、l₂的距離相等，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得
=，
解得k=(k=2舍去)，
∴直線(xiàn)l₂的方程為x-2y=0.
方法二 設(shè)所求直線(xiàn)上一點(diǎn)P（x,y）,
則在直線(xiàn)l₁上必存在一點(diǎn)P₁（x₀,y₀）與點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng).
由題設(shè)：直線(xiàn)PP₁與直線(xiàn)l垂直，且線(xiàn)段PP₁的中點(diǎn)
P₂在直線(xiàn)l上.
∴，變形得,
代入直線(xiàn)l₁:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,
整理得x-2y=0.
所以所求直線(xiàn)方程為x-2y=0.