(本小題滿分14分)

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知兩點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0),若將動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍后得到點(diǎn)Q(x,y),且滿足·=1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程;

(2)過點(diǎn)B作斜率為-的直線L交曲線C于M、N兩點(diǎn),且++=,試求△MNH的面積.

 

【答案】

(Ⅰ) + y2=1 ;(Ⅱ) S=

【解析】本試題主要考查了橢圓方程的求解,以及直線與橢圓方程的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

(1)利用橢圓的性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,然后求解得到曲線的方程的求解。

(2)因直線L過點(diǎn)B,且斜率為k=-,故有L∶y=-(x-1)然后與橢圓的方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理和向量的關(guān)系式得到坐標(biāo)關(guān)系式,從而結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的公式,得到三角形面積的求解。

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y).   

依據(jù)題意,有=(x+1,y), =(x-1,y).              ……2分

·=1,∴x2-1+2 y2=1.∴動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是+ y2=1      …4分

(Ⅱ)因直線L過點(diǎn)B,且斜率為k=-,故有L∶y=-(x-1).……5分

聯(lián)立方程組,消去y,得2x2-2x-1=0.          ………7分

設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),可得,于是.  …………8分

++=,得=(- x1- x2,- y1- y2),即H(-1,-)………9分

∴|MN|==   …………11分

(另外求出兩個(gè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)也可)

又L: x+2y-=0,則H到直線L的距離為d=     …13分

故所求△MNH的面積為S=    ………………14分

 

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時(shí),求函數(shù)f(x)
的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P。(1)試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn),當(dāng)a變化時(shí),求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個(gè)。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷(A) 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知=2,點(diǎn)()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(3)記,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山東省威海市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對(duì)一應(yīng)季商品過去20天的銷售價(jià)格及銷售量進(jìn)行了監(jiān)測統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價(jià)格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.

(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;

(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省高三下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.

⑴ 求,滿足的關(guān)系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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