Question

已知函數，其中m∈R．
（1）求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4，求實數m的取值范圍；
（3）求函數f（x）的零點個數．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導數f´（x），解不等式f´（x）≥0，f´（x）≤0即得函數的單調區(qū)間；
（2）“對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4”等價于“函數y=f´（x），x∈[-1，1]的最大值與最小值的差小于等于4”，根據二次函數的性質，對m進行分類討論即可求得f′（x）的最大值、最小值；
（3）易判斷y=f（x）既有極大值也有極小值，設f´（x）=0，即x²-2mx-1=0，由此對f （x）化簡得f （x）=-x（m²+1），由（1）得到f（x）的極大值、極小值，根據極值的符號借助圖象可判斷函數f（x）零點的個數；
解答：解：（1）f´（x）=x²-2mx-1，
由f´（x）≥0，得x≤m-，或x≥m+；
故函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，m-），（m+，+∞），減區(qū)間（m-，m+）．
（2）“對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4”等價于“函數y=f´（x），x∈[-1，1]的最大值與最小值的差小于等于4”．
對于f´（x）=x²-2mx-1，對稱軸x=m．
①當m＜-1時，f´（x）的最大值為f´（1），最小值為f´（-1），由 f´（1）-f´（-1）≤4，即-4m≤4，解得m≥-1，舍去；                                  
②當-1≤m≤1時，f´（x）的最大值為f´（1）或f´（-1），最小值為f´（m），由 ，即，解得-1≤m≤1；     
③當m＞1時，f´（x）的最大值為f´（-1），最小值為f´（1），由 f´（-1）-f´（1）≤4，即4m≤4，解得m≤1，舍去；
綜上，實數m的取值范圍是[-1，1]．
（3）由f´（x）=0，得x²-2mx-1=0，
因為△=4m²+4＞0，所以y=f（x）既有極大值也有極小值．
設f´（x）=0，即x²-2mx-1=0，
則f （x）=x³-mx²-x+m=-mx²-x+m=-x（m²+1），
由（1）知：極大值f（m-）=-（m-）（m²+1）＞0，
極小值f（m+）=-（m+）（m²+1）＜0，
故函數f（x）有三個零點．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、極值、函數的零點個數，考查分類討論思想、數形結合思想，考查學生解決問題的能力，具有一定綜合性．