Question

雙曲線＝1(a>0，b>0)的離心率為2，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為，其中A(0，－b)，B(a,0)．

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)．若點(diǎn)M在直線x＝－2上的射影為N，滿足·＝0，且||＝10，求直線l的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1) x²－＝1.(2) 3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.

【解析】

試題分析：(1)依題意有

解得a＝1，b＝，c＝2.所以，所求雙曲線的方程為x²－＝1.（4分）

(2)當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，||＝6，不合題意．（5分）

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)．

由得，

(3－k²)x²＋4k²x－4k²－3＝0.                          

因?yàn)橹本�與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，所以3－k²≠0.（7分）

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，則x₁、x₂是方程①的兩個(gè)正根，于是有

所以k²>3。 （9分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050708405841236692/SYS201305070841358655125064_DA.files/image007.png">·＝0，則PN⊥QN，又M為PQ的中點(diǎn)，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.

又|MN|＝x₀＋2＝5，∴x₀＝3，

而x₀＝＝＝3，∴k²＝9，解得k＝±3.（10分）

∵k＝±3滿足②式，∴k＝±3符合題意．

所以直線l的方程為y＝±3(x－2)．

即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.（12分）

考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，直線方程。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及雙曲線的題目，在近些年高考題中是屢見(jiàn)不鮮，往往涉及求標(biāo)準(zhǔn)方程，研究直線與雙曲線的位置關(guān)系。求標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考慮定義及a,b,c,e的關(guān)系，涉及直線于雙曲線位置關(guān)系問(wèn)題，往往應(yīng)用韋達(dá)定理。本題利用“垂直關(guān)系”較方便的得到了直線的斜率，進(jìn)一步確定得到直線方程。