Question

設函數(shù)。

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）設，討論函數(shù)的單調性；

（3）斜率為的直線與曲線交于,兩點，求證：。

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）當a≥0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

當a＜0時，F(xiàn)（x）在上單調遞增，在上單調遞減．（3）構造函數(shù)利用函數(shù)的單調性證明不等式

【解析】

試題分析：（1）f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．

∵當時，f'（x）＜0；當時，

f'（x）＞0，

∴當時，．                 4分

（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），．

①當a≥0時，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

②當a＜0時，

令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得；

令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得．

綜上，當a≥0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

當a＜0時，F(xiàn)（x）在上單調遞增，在上單調遞減．    8分

（3）．

要證，即證，等價于證，令，

則只要證，由t＞1知lnt＞0，

故等價于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．

①設g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），則，

故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，

∴當t＞1時，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．

②設h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，

∴當t＞1時，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．

由①②知（*）成立，得證．                 12分

考點：本題考查了導數(shù)的運用

點評：導數(shù)本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數(shù)甚至是實際問題考查導數(shù)的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規(guī)方法和常見注意點