Question

(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分8分.
（理）對(duì)于數(shù)列，從中選取若干項(xiàng)，不改變它們?cè)谠瓉頂?shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列. 某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后，打算研究首項(xiàng)為正整數(shù),公比為正整數(shù)的無窮等比數(shù)列的子數(shù)列問題. 為此，他任取了其中三項(xiàng).
(1) 若成等比數(shù)列,求之間滿足的等量關(guān)系；
(2) 他猜想：“在上述數(shù)列中存在一個(gè)子數(shù)列是等差數(shù)列”，為此，他研究了與的大小關(guān)系，請(qǐng)你根據(jù)該同學(xué)的研究結(jié)果來判斷上述猜想是否正確；
(3) 他又想：在首項(xiàng)為正整數(shù),公差為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列中是否存在成等比數(shù)列的子數(shù)列？請(qǐng)你就此問題寫出一個(gè)正確命題,并加以證明.

Answer 1

(1) ；(2)不成立；(3) 對(duì)于首項(xiàng)為正整數(shù)，公差為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列，總可以找到一個(gè)無窮子數(shù)列,使得是一個(gè)等比數(shù)列.

試題分析：(1)由已知可得：,      1分
則,即有,        3分
，化簡可得. .      4分
(2) ,又,
故 ,   6分
由于是正整數(shù)，且，則,
又是滿足的正整數(shù)，則,
,
所以，> ,從而上述猜想不成立.         10分
(3)命題:對(duì)于首項(xiàng)為正整數(shù)，公差為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列，總可以找到一個(gè)無窮子數(shù)列,使得是一個(gè)等比數(shù)列.   13分
此命題是真命題,下面我們給出證明.
證法一: 只要證明對(duì)任意正整數(shù)n,都在數(shù)列{a_n}中.因?yàn)閎_n=a(1+d)ⁿ=a(1+d+d²+…+dⁿ)=a(Md+1)，這里M=+d+…+d^n-1為正整數(shù)，所以a(Md+1)=a+aMd是{a_n}中的第aM+1項(xiàng)，證畢.      18分
證法二：首項(xiàng)為,公差為( )的等差數(shù)列為,考慮數(shù)列中的項(xiàng):
依次取數(shù)列中項(xiàng),,
,則由,可知,并由數(shù)學(xué)歸納法可知,數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列.    18分
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)即通項(xiàng)公式，同時(shí)本題屬于新定義及結(jié)論探索性問題，這類試題的一般解法是：充分抓住已知條件，找準(zhǔn)問題的突破點(diǎn)，由淺入深，多角度、多側(cè)面探尋，聯(lián)系符合題設(shè)的有關(guān)知識(shí)，合理組合發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，圍繞所探究的結(jié)論環(huán)環(huán)相扣，步步逼近發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論．熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．