已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作方向向量的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求證：為定值．

（1）；（2）證明見(jiàn)解析．

解析試題分析：（1）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，就是已知，那么在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中還有一個(gè)參數(shù)，正好橢圓過(guò)點(diǎn)，把這個(gè)點(diǎn)的代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可求出，得橢圓方程；（2）這是直線與橢圓相交問(wèn)題，考查同學(xué)們的計(jì)算能力，給定了直線的方向向量，就是給出了直線的斜率，只要設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，就能寫出直線的方程，把它與橢圓方程聯(lián)立方程組，可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的值，看它與有沒(méi)有關(guān)系（是不是常數(shù)），當(dāng)然在求時(shí)，不一定要把兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求出（如直接求出，對(duì)下面的計(jì)算沒(méi)有幫助），而是采取設(shè)而不求的思想，即設(shè)，然后求出，，而再把用，表示出來(lái)然后代入計(jì)算，可使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化．
試題解析：（1） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0a/2/y6ryu1.png" style="vertical-align:middle;" />的焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸為，
故可設(shè)橢圓的方程為（），      （1分）
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，         （2分）
解得，    （1分）
所以，橢圓的方程為．              （2分）
（2）設(shè)（），由已知，直線的方程是，   （1分）
由  （*）    （2分）
設(shè)，，則、是方程（*）的兩個(gè)根，
所以有，，         （1分）
所以，


（定值）．      （3分）
所以，為定值．         （1分）
（寫到倒數(shù)第2行，最后1分可不扣）
考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓相交問(wèn)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上的正射影為點(diǎn)，且滿足直線.
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知兩點(diǎn)，直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且這兩條直線的斜率之積為.
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，直線PE、PF與圓（）相切于點(diǎn)E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，過(guò)橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l，設(shè)直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為；為橢圓上的四個(gè)點(diǎn)。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若，且，求四邊形的面積的最大值和最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)G滿足．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡的方程；
（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線l交（Ⅰ）中的軌跡于P，Q兩點(diǎn)．在線段上是否存在點(diǎn)，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上一點(diǎn)M
滿足.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線L：y=與橢圓恒有不同交點(diǎn)A，B，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)k的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，離心率．過(guò)該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長(zhǎng)線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線MN過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線MN的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線被直線截得的弦長(zhǎng)為，求拋物線的方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案