Question

已知二項(xiàng)式（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列．
（1）求展開式的常數(shù)項(xiàng)．
（2）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和．
（3）求展開式的第四項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令x的次數(shù)為0，即可求出常數(shù)項(xiàng)．
（2）令x=1，即可得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和
（3）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求T₄即可．

解答：解：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=

C

k n

?(

3	x

)n-k?(-

1

2 3 x

)k=

C

k n

?(

3	x

)n-2k?(-

1

2

)k=

C

k n

?(

3	x

)n-2k?(-

1

2

)k?x

n-2k

3

，
前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，-

1

2

n，

1

4

×

n(n-1)

2

，
∵前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，
∴1+

1

8

n(n-1)=n，解得n=8．即Tk+1=

C

k 8

?(-

1

2

)k?x

8-2k

3

．
（1）常數(shù)項(xiàng)為T5=

C

4 8

?(-

1

2

)4=

35

8

．
（2）令x=1，即可得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為（1-

1

2

） 8=(

1

2

)8=

1

256

．
（3）第四項(xiàng)T4=

C

3 8

?(-

1

2

)3?x

2

3

=-7x

2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的基本應(yīng)用，利用展開式的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．