【題目】(1)向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,求|a+b|和a+b與c的夾角;

(2)設(shè)O為△ABC的外心,已知AB=3,AC=4,非零實(shí)數(shù)x,y滿足=x+y,且x+2y=1,求cos ∠BAC的值.

【答案】見解析

【解析】(1)∵a⊥c,∴2x-4=0,x=2,

∵b∥c,∴-4-2y=0,y=-2.

∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),

∴|a+b|=.

設(shè)a+b與c的夾角為θ,則cos θ=.

∵0≤θ≤π,∴θ=,即a+b與c的夾角為.

(2)設(shè)AC的中點(diǎn)為D,連接OD(圖略),

=x+y=x+2y,

又x+2y=1,∴O,B,D三點(diǎn)共線.

由O為△ABC外心,知OD⊥AC,BD⊥AC,

在Rt△ADB中,AB=3,AD=AC=2,所以cos ∠BAC=.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬實(shí)驗(yàn),準(zhǔn)備用、、三種人工降雨方式分別對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨,其試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表:

方式

實(shí)施地點(diǎn)

大雨

中雨

小雨

模擬實(shí)驗(yàn)總次數(shù)

4次

6次

2次

12次

3次

6次

3次

12次

2次

2次

8次

12次

假定對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不影響,請(qǐng)你根據(jù)人工降雨模擬實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

(Ⅰ)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率;

(Ⅱ)考慮到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀態(tài),乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài),丙地只能是小雨或中雨即達(dá)到理想狀態(tài),記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個(gè)數(shù)”為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.勤于思考的小紅設(shè)計(jì)了下面兩種解題思路,請(qǐng)你選擇其中一種并將其補(bǔ)充完整.

思路1:先設(shè)的值為1,根據(jù)已知條件,計(jì)算出_________, __________, _________

猜想: _______.

然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明過(guò)程如下:

①當(dāng)時(shí),________________,猜想成立

②假設(shè)N*)時(shí),猜想成立,即_______

那么,當(dāng)時(shí),由已知,得_________

,兩式相減并化簡(jiǎn),得_____________(用含的代數(shù)式表示).

所以,當(dāng)時(shí),猜想也成立.

根據(jù)①和②,可知猜想對(duì)任何N*都成立.

思路2:先設(shè)的值為1,根據(jù)已知條件,計(jì)算出_____________

由已知,寫出的關(guān)系式: _____________________,

兩式相減,得的遞推關(guān)系式: ____________________

整理: ____________

發(fā)現(xiàn):數(shù)列是首項(xiàng)為________,公比為_______的等比數(shù)列.

得出:數(shù)列的通項(xiàng)公式____,進(jìn)而得到____________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】底面為菱形的直棱柱

中,

分別為棱

的中點(diǎn).

(1)在圖中作一個(gè)平面

,使得

,且平面

.(不必給出證明過(guò)程,只要求作出

與直棱柱

的截面).

(2)若

,求平面

與平面

的距離

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三個(gè)元素構(gòu)成的,且-3∈A,求實(shí)數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求的直角坐標(biāo)方程;

(2)直線為參數(shù))與曲線交于兩點(diǎn),與軸交于,求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著人口老齡化的到來(lái),我國(guó)的勞動(dòng)力人口在不斷減少,“延遲退休”已經(jīng)成為人們?cè)絹?lái)越關(guān)心的話題,為了解公眾對(duì)“延遲退休”的態(tài)度,某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機(jī)抽取了50人進(jìn)行調(diào)查,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:

年齡

人數(shù)

4

5

8

5

3

年齡

人數(shù)

6

7

3

5

4

經(jīng)調(diào)查年齡在,的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人,現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人,進(jìn)行跟蹤調(diào)查.

(Ⅰ)求年齡在的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率;

(Ⅱ)若選中的4人中,不贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖(1)所示,E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),點(diǎn)P以1cm/秒的速度沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止,點(diǎn)Q以2cm/秒的速度沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí),△BPQ的面積為ycm2.已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖(2)(其中曲線OG為拋物線的一部分,其余各部分均為線段),則下列結(jié)論:①;②當(dāng)時(shí), ;③;④當(dāng)秒時(shí), ;⑤當(dāng)的面積為時(shí),時(shí)間的值是;其中正確的結(jié)論是( )

A. ①⑤ B. ②⑤ C. ②③ D. ②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員名,其中種子選手名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員名,其中種子選手名.從這名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇人參加比賽.

(1)設(shè)為事件“選出的人中恰有名種子選手,且這名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”求事件發(fā)生的概率;

(2)設(shè)為選出的人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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