如圖，四棱錐P－ABCD的底面為一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．

(1)證明EB∥平面PAD．

(2)若PA＝AD，證明BE⊥平面PDC．

答案：
解析：

　　證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

　　設(shè)AB＝1，則CD＝2．設(shè)AD＝b，AP＝c．

　　(1)方法一：＝(－b，0，0)，＝(0，0，c)．

　　∵B(0，1，0)，E()，

　　∴＝()＝＋．

　　∴、、共面．

　　又AD∩AP＝A，BE平面PAD，

　　∴EB∥平面PAD．

　　方法二：∵＝()，

　　平面PAD的一個(gè)法向量為n＝(0，1，0)．

　　∴·n＝0．∴⊥n．

　　又BE平面PAD，∴BE∥平面PAD．

　　(2)方法一：∵PA＝AD，∴＝(b，0，b)．

　　又＝(0，2，0)，＝()，

　　∴·＝0，·＝0．

　　∴BE⊥DP，BE⊥DC．

　　∵DP∩DC＝D，∴BE⊥平面PDC．

　　方法二：設(shè)平面PCD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

　　則

　　∵＝(0，2，0)，＝(b，0，b)，

　　∴令z1＝1，則x1＝－1．

　　∴n1＝(－1，0，1)．

　　又∵＝()，

　　∴＝n1，∴∥n1．

　　∴BE⊥平面PDC．


提示：

根據(jù)圖形特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)解決問題．關(guān)鍵是把其中各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫準(zhǔn)確．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點(diǎn)D到平面PCE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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