【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AC=2 ,AA1= ,AB=2,點D在棱B1C1上,且B1C1=4B1D (Ⅰ)求證:BD⊥A1C
(Ⅱ)求二面角B﹣A1D﹣C的大小.
【答案】證明:(Ⅰ)分別以AB、AC、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系, ∵AC=2 ,AA1= ,AB=2,點D在棱B1C1上,且B1C1=4B1D,
∴B(2,0,0),C(0, ,0),A1(0,0, ),D( , , ).
則 , ,
∴ .
∴BD⊥A1C;
(Ⅱ)解:設(shè)平面BDA1的一個法向量為 , , ,
∴ ,取z=2,則 ;
設(shè)平面A1DC的一個法向量為 , , ,
∴ ,取y=1,得 .
∴cos< >= = .
∴二面角B﹣A1D﹣C的大小為arccos .
【解析】(Ⅰ)分別以AB、AC、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得到所用點的坐標(biāo),求得 的坐標(biāo),由兩向量的數(shù)量積為0說明BD⊥A1C;(Ⅱ)分別求出平面BDA1與平面A1DC的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣C的大。
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,滿足a1=b1=1,b2﹣a3=2b3 , a3﹣2b2=﹣1
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式
(2)設(shè)cn=an+bn , n∈N* , 求數(shù)列{cn}的前n項和Sn .
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【題目】為了得到函數(shù) 的圖象,只需把y=3sin2x上的所有的點( )
A.向左平行移動 長度單位
B.向右平行移動 長度單位
C.向右平行移動 長度單位
D.向左平行移動 長度單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面內(nèi)到定點F(0,1)和定直線l:y=﹣1的距離之和等于4的動點的軌跡為曲線C,關(guān)于曲線C的幾何性質(zhì),給出下列四個結(jié)論: ①曲線C的方程為x2=4y;
②曲線C關(guān)于y軸對稱
③若點P(x,y)在曲線C上,則|y|≤2;
④若點P在曲線C上,則1≤|PF|≤4
其中,所有正確結(jié)論的序號是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線 =1(a>0,b>0)的離心率為 ,過左焦點F1(﹣c,0)作圓x2+y2=a2的切線,切點為E,延長F1E交拋物線y2=4cx于P,Q兩點,則|PE|+|QE|的值為( )
A.
B.10a
C.
D.
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【題目】函數(shù)y=log cos( ﹣2x)的遞增區(qū)間是 ( )
A.[﹣ +kπ, +kπ](k∈Z)
B.[﹣ +kπ,kπ)(k∈Z)
C.[ +kπ, +kπ](k∈Z)
D.[ +kπ, +kπ)(k∈Z)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求這一天的最大溫差;
(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.
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