Question

y=f（x）是關(guān)于x=3對(duì)稱的奇函數(shù)，f（1）=1，cosx-sinx=

3 2

5

，若t=

15sin2x

cos(x+ π 4 )

，則f（t）=

 

．

Answer 1

分析：由cosx-sinx=

3 2

5

，利用輔助角公式易得cos（x+

π

4

）=

3

5

，代入易求t的值，又由y=f（x）是關(guān)于x=3對(duì)稱的奇函數(shù)，則f（x）是一個(gè)周期為6的周期函數(shù)，結(jié)合f（1）=1即可求出f（t）的值．

解答：解：∵cosx-sinx=

3 2

5

，
∴cos（x+

π

4

）=

3

5

又∵sin2x=

7

25

，
∴

15sin2x

cos(x+ π 4 )

=7．
又∵函數(shù)y=f（x）是關(guān)于x=3對(duì)稱的奇函數(shù)，
∴f[

15sin2x

cos(x+ π 4 )

]=f（7）=f（3+4）=f（3-4）=f（-1）=-f（1）=-1．

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的周期性解題要注意：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，①若f（x+T）=f（x），則T為函數(shù)的周期；②若f（x+T）=-f（x），則2T為函數(shù)的周期；③若（a，y），（b，y）分別為函數(shù)的兩個(gè)對(duì)稱中心則T=2|（a-b）|④對(duì)于任意x∈R，f(x+1)=

1-f(x)

1+f(x)

，則T=2⑤若（a，y）為函數(shù)的對(duì)稱中心，x=b為函數(shù)的對(duì)稱軸，則T=4|（a-b）|