Question

【題目】已知函數(shù)，是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

（1）證明：當(dāng)x＞0時，f(x)＞0；

（2）證明：在()上有且只有3個零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性可證得不等式成立；

（2）轉(zhuǎn)化為證明在上有且只有3個零點(diǎn)，因為0是的一個零點(diǎn)，再根據(jù)為奇函數(shù)，所以只需證明在上有且只有一個零點(diǎn)，分兩種情況證明：①當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)證明，此時無零點(diǎn)，②當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得有且只有一個零點(diǎn).

（1）證明：

令，則，

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，

又，

所以當(dāng)時，.

（2）證明：，

令，得，即

令，則，

是奇函數(shù)，且，即0是的一個零點(diǎn)，

令，則，

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，

令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

由（1）知：當(dāng)時，，即，

令，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

又，

所以時，恒成立，即時，恒成立，

所以當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，恒成立，

當(dāng)時，，

所以在上為增函數(shù)，且，，

所以在上有且只有一個零點(diǎn)，設(shè)為，所以，

因為是奇函數(shù)，，

所以在上的零點(diǎn)為，

所以在上的零點(diǎn)為，，，

所以在上有且只有3個零點(diǎn).

所以在上有且只有3個零點(diǎn).