Question

【題目】某動(dòng)物園要為剛?cè)雸@的小動(dòng)物建造一間兩面靠墻的三角形露天活動(dòng)室，地面形狀如圖所示，已知已有兩面墻的夾角為 （∠ACB= ），墻AB的長度為6米，（已有兩面墻的可利用長度足夠大），記∠ABC=θ
（1）若θ= ，求△ABC的周長（結(jié)果精確到0.01米）；
（2）為了使小動(dòng)物能健康成長，要求所建的三角形露天活動(dòng)室面積△ABC的面積盡可能大，問當(dāng)θ為何值時(shí)，該活動(dòng)室面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，由正弦定理可得AC= =2 ，BC= =3 + ，

∴△ABC的周長為6+3 +3 ≈17.60米

（2）解：在△ABC中，由余弦定理：c2=602=a2+b2﹣2abcos60°，

∴a2+b2﹣ab=36，

∴36+ab=a2+b2≥2ab，即ab≤36，

∴S△ABC= ACBCsin = ab≤9 ，

此時(shí)a=b，△ABC為等邊三角形，

∴θ=60°，（S△ABC）max=9

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周長；（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面積公式求出面積的最大值，以及此時(shí)θ的值．