Question

已知數(shù)列，滿足，，，．

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）設數(shù)列滿足，對于任意給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)，()，使得，，成等差數(shù)列？若存在，試用表示，；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1），（2）當時，不存在，滿足題設條件；當時，存在，，滿足題設條件．

【解析】

試題分析：（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，就是確定為一個常數(shù).因此首先得到關(guān)于與的關(guān)系式，因為，所以，則，然后按提示，將所求關(guān)系式進行變形，即取倒數(shù)，得：，又，所以，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，即，所以.（2）先明確數(shù)列，由(1)得，所以，然后假設存在，得一等量關(guān)系：若，，成等差數(shù)列，則，如何變形，是解題的關(guān)鍵，這直接影響解題方向.題中暗示，用p表示，所以由得：.令得，因為要，所以分情況討論，當時，，，，成等差數(shù)列不成立．當時，，，即．

試題解析：（1）因為，所以，

則， 2分

所以，

又，所以，故是首項為，公差為的等差數(shù)列， 4分

即，所以． 6分

（2）由（1）知，所以，

①當時，，，，

若，，成等差數(shù)列，則（），

因為，所以，，，，

所以（）不成立． 9分

②當時，若，，成等差數(shù)列，

則，所以，

即，所以， 12分

欲滿足題設條件，只需，此時， 14分

因為，所以，，

即． 15分

綜上所述，當時，不存在，滿足題設條件；

當時，存在，，滿足題設條件． 16分

考點：等差數(shù)列定義，等差數(shù)列綜合應用