Question

已知

3π

4

＜α＜π，tanα+cotα=-

10

3

（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求

5sin2 α 2 +8sin α 2 cos α 2 +11cos2 α 2 -8

2 sin(α- π 2 )

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanα的一元二次方程，求得tanα的值，最后利用α的范圍求得答案．
（Ⅱ）利用二倍角公式對原式進行化簡整理，然后分子分母同時除以cosα的值，最后把（1）中tanα的值代入即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由tanα+cotα=-

10

3

得3tan²α+10tanα+3=0，
即tanα=-3或tanα=-

1

3

，又

3π

4

＜α＜π，
所以tanα=-

1

3

為所求．

（Ⅱ）

5sin2 α 2 +8sin α 2 cos α 2 +11cos2 α 2 -8

2 sin(α- π 2 )

=

5 1-cosα 2 +4sinα+11 1+cosα 2 -8

- 2 cosα

=

5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16

-2 2 cosα

=

8sinα+6cosα

-2 2 cosα

=

8tanα+6

-2 2

=-

5 2

6

．

點評：本題主要考查了二倍角公式的化簡求值和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運用．要能熟練記憶同角三角函數(shù)關(guān)系中的倒數(shù)關(guān)系，商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系等．