Question

（2013•徐州一模）已知a＞0，b＜0，且a+b≠0，令a₁=a，b₁=b，且對(duì)任意的正整數(shù)k，當(dāng)a_k+b_k≥0時(shí)，ak+1=

1

2

ak-

1

4

bk，bk+1=

3

4

bk；當(dāng)a_k+b_k＜0時(shí)，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
（1）求數(shù)列{a_n+b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n+b_n＜0恒成立，問(wèn)是否存在a，b使得{b_n}為等比數(shù)列？若存在，求出a，b滿(mǎn)足的條件；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n+b_n＜0，且b2n=

3

4

b2n+1，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)化建立{b_n+a_n}的相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是等比數(shù)列，從而確定出通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)存在合題意的a，b，然后確定出b_n的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵，通過(guò)分析其相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系即可求解
（3）通過(guò)b_n的相應(yīng)項(xiàng)之間的關(guān)系得到關(guān)于n的不等關(guān)系，然后結(jié)合已知a_n的遞推關(guān)系可求b_n的表達(dá)式

解答：解：（1）當(dāng)a_k+b_k≥0時(shí)，ak+1=

1

2

ak-

1

4

bk，bk+1=

3

4

bk；
∴a_k+1+b_k+1=

1

2

ak-

1

4

bk+

3

4

bk=

1

2

(ak+bk)
當(dāng)a_k+b_k＜0時(shí)，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
∴a_k+1+b_k+1=-

1

4

ak+

1

2

bk+

3

4

ak=

1

2

(ak+bk)
∴總有a_k+1+b_k+1=

1

2

(ak+bk)
∵a₁=a，b₁=b，
∴a₁+b₁=b+a
∴數(shù)列{a_n+b_n}是以a+b為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴b_n+a_n=（b+a）（

1

2

^）n-1．
（2）∵a_n+b_n＜0恒成立
∴（b+a）(

1

2

)n-1＜0恒成立
∴b+a＜0
∵當(dāng)a_k+b_k＜0時(shí)，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
∴an=a•(

3

4

)n-1
∴bn=(a+b)•(

1

2

)n-1-a•(

3

4

)n-1不可能是個(gè)等比數(shù)列
故{b_n}不是等比數(shù)列
（3）∵a_n+b_n＜0，bk+1=-

1

4

ak+

1

2

bk，ak+1=

3

4

ak．
∴b2n+1=-

1

4

a2n+

1

2

b2n，a2n+1=

3

4

a2n
∵b2n=

3

4

b2n+1
∴b2n+1=

4

3

b2n=-

1

4

a2n+

1

2

b2n
∴b2n=-

3

10

a2n=-

3

10

a•(

3

4

)2n-1
∴b_n=-

3a

10

•(

3

4

)n-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合問(wèn)題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，考查學(xué)生探究性問(wèn)題的解決方法，注意體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和意識(shí)．