Question

點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).給出三個結(jié)論：①;②△的周長有最小值；③曲線上存在兩點(diǎn)，使得△為等腰直角三角形.其中正確結(jié)論的個數(shù)是

A．1

B．2

C．3

D．0

Answer 1

C

解析試題分析：設(shè)動點(diǎn)P(m，)（m＞0），則y^′=-，∴f^′(m)=-，
∴過動點(diǎn)P(m，)的切線方程為：y-=-(x-m)．
①分別令y=0，x=0，得A（2m，0），B(0，)．
則|PA|=，|PB|=，∴|PA|=|PB|，故①正確；
②由上面可知：△OAB的周長=2m++2≥2×2+2=4+2，當(dāng)且僅當(dāng)m=，即m=1時取等號．故△OAB的周長有最小值4+2，即②正確．
③假設(shè)曲線C上存在兩點(diǎn)M(a，)，N(b，)，不妨設(shè)0＜a＜b，∠OMN=90°．
則|ON|=|OM|，，
所以
化為，解得，故假設(shè)成立．因此③正確．
故選C。
考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用。
點(diǎn)評：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．較難。