【題目】已知函數(shù)f(x)=xex﹣a(x﹣1)(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在x=0處有極值,求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)若存在實(shí)數(shù)x0∈(0, ),使得f(x0)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=(x+1)ex﹣a,

由f′(0)=0,解得:a=1,

故f′(x)=(x+1)ex﹣1,

令f′(x)>0,解得:x>0,令f′(x)<0,解得:x<0,

故f(x)在(﹣∞,0)遞減,在(0,+∞)遞增


(2)解:若f(x)<0在x∈(0, )上有解,

即xex<a(x﹣1),a< 在x∈(0, )上有解,

設(shè)h(x)= ,x∈(0, ),

則h′(x)= <0,

故h(x)在(0, )遞減,

h(x)在(0, )的值域是(﹣ ,0),

故a<h(0)=0


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出a的值,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為a< 在x∈(0, )上有解,設(shè)h(x)= ,x∈(0, ),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) ①對(duì)于命題p:x∈R,使得x2+x+1<0,則¬p:x∈R,均有x2+x+1>0;
②命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題;
③回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為 =1.23x+0.08;
④m=3是直線(m+3)x+my﹣2=0與直線mx﹣6y+5=0互相垂直的充要條件.
A.1
B.3
C.2
D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,平面SCD⊥平面ABCD,SC=SD=CD=AD=2AB,M,N分別為SA,SB的中點(diǎn),E為CD中點(diǎn),過M,N作平面MNPQ分別與BC,AD交于點(diǎn)P,Q,若 =t
(1)當(dāng)t= 時(shí),求證:平面SAE⊥平面MNPQ;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ?若存在,求出實(shí)數(shù)t的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|x|+|x+1|.
(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>3;
(2)若x∈R,使得m2+3m+2f(x)≥0成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知雙曲線C:的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P是C上異于A,B的一點(diǎn),直線PA,PB的傾斜角分別為α,β.若,則C的離心率為( 。

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b,a,b∈R,則下列敘述中,正確的序號(hào)是( ) ①對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,函數(shù)y=f(x)在R上是單調(diào)函數(shù);
②對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,函數(shù)y=f(x)在R上都不是單調(diào)函數(shù);
③對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,函數(shù)y=f(x)的圖象都是中心對(duì)稱圖象;
④存在實(shí)數(shù)a,b,使得函數(shù)y=f(x)的圖象不是中心對(duì)稱圖象.
A.①③
B.②③
C.①④
D.③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,ABBCCA=2,AA1=4,DA1B1的中點(diǎn),E為棱BB1上的點(diǎn),AB1⊥平面C1DE,且B1,C1D,E四點(diǎn)在同一球面上,則該球的表面積為(  )

A. B. 11π C. 12π D. 14π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AN∥平面MEC;
(Ⅱ)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ?若存在,求出AP的長(zhǎng)h;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)對(duì)x∈R恒成立,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x , 則 =(
A.
B.
C.
D.1

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