Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左頂點(diǎn)A（-2，0），離心率e=

1

2

，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)A）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)|PQ|=

24

7

時(shí)，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)題意可a，利用離心率求得c，則b可求得，橢圓的方程可得．
（II）解法一：設(shè)出直線PQ的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，則利用弦長(zhǎng)公式可表示出|PQ|求得m，直線的方程可得．
解法二：設(shè)出直線PQ的方程為線PQ方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x_1x2，則利用弦長(zhǎng)公式可表示出|PQ|求得m，直線的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知 a=2，e=

c

a

=

1

2

，
∴c=1，b²=a²-c²=3，--------------------------------------------------------（4分）
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．-------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）解法一：橢圓右焦點(diǎn)F（1，0）．
設(shè)直線PQ方程為x=my+1（m∈R）．----------------------------------（7分）
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得（3m²+4）y²+6my-9=0．①-----------（9分）
顯然，方程①的△＞0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

．--（11分）|PQ|=

(m2+1)(y1-y2)2

=

(m2+1)( 36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4 )

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=12×

m2+1

3m2+4

=

24

7

．
解得m=±1．---------------------------------------------------------------------------（13分）
∴直線PQ 方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0．----------（14分）
解法二：橢圓右焦點(diǎn)F（1，0）．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，|PQ|=3，不合題意．
設(shè)直線PQ方程為y=k（x-1），--------------------------------------（7分）
由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．   ①----（9分）
顯然，方程①的△＞0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

．--------（11分）|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=

(1+k2)[( 8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2 ]

=12

(k2+1)2 (4k2+3)2

=12

k2+1

4k2+3

．
∵|PQ|=

24

7

，
∴12

k2+1

4k2+3

=

24

7

，解得k=±1．----------------------------------------------------（13分）
∴直線PQ的方程為y=±（x-1），即x+y-1=0或x-y-1=0．----------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生邏輯思維能力和統(tǒng)籌運(yùn)算的能力．