已知橢圓C的中心在坐標原點,它的一條準線為x=-
5
2
,離心率為
2
5
5

(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓于A、B兩點,交y軸于M點,若
MA
=λ1
AF
, 
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.
分析:(1)由題意可知所求的橢圓的焦點在x軸上故可設(shè)所求的橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>0,b>0)
然后利用它的一條準線為x=-
5
2
,離心率為
2
5
5
再結(jié)合a2=b2+c2即可求出a,b,c則問題即可求解.
(2)根據(jù)題意可得直線L的斜率存在故可設(shè)直線L的方程為y=k(x-2)則M(0,-2k)再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)根據(jù)向量的坐標計算可得
MA
=(x1,y1+2k)
AF
=( 2-x1,-y1)
MB
=(x2,y2+2k)
,
BF
=(2-x2,-y2)
然后再結(jié)合條件
MA
=λ1
AF
, 
MB
=λ2
BF
可求出點A,B的坐標而A,B兩點都在橢圓
x2
5
 +y2=1
上則代入可得關(guān)于λ1,λ2的式子然后分析求解即可.
解答:解:(1)由題意可設(shè)所求的橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>0,b>0)

∵它的一條準線為x=-
5
2
,離心率為
2
5
5

a2
c
=
5
2
c
a
=
2
5
5
a2b2+c2

∴a=
5
,b=1,c=2
∴橢圓C的方程為
x2
5
 +y2=1

(2)經(jīng)分析知過橢圓C的右焦點F的直線l的斜率存在設(shè)為k則直線L的方程為y=k(x-2)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)而F(2,0),M(0,-2k)
MA
=(x1,y1+2k)
,
AF
=( 2-x1,-y1)
,
MB
=(x2y2+2k)
,
BF
=(2-x2,-y2)

又∵
MA
=λ1
AF
, 
MB
=λ2
BF

x1=λ1(2-x1
y1+2k=-λy1
x2=λ2(2-x2)  
y2+2k=-λy2

x1=
2λ1
1+λ1
y1=
-2k
1+λ1
,
x2=
2λ2
1+λ2
y2=
-2k
1+λ2

∵A,B兩點都在橢圓
x2
5
 +y2=1

∴λ12+10λ1+5-20k2=0且λ22+10λ2+5-20k2=0
∴λ1,λ2為方程x2+10x+5-20k2=0的兩根
∴λ12=-10
點評:本題主要考察了直線與圓錐曲線的綜合.解題的關(guān)鍵是第一問需利用待定系數(shù)法求橢圓方程關(guān)鍵是a,b,c的求解而第二問須在得出λ12+10λ1+5-20k2=0且λ22+10λ2+5-20k2=0后分析出λ1,λ2為方程x2+10x+5-20k2=0的兩根然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求解,則充分體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題技巧!
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標原點,橢圓C任意一點P到兩個焦點F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(0,-2)的直線l與橢圓C交于A、B兩點,且
OA
OB
=0
(O為坐標原點),求直線l的方程.

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已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點P(1,
32
)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,點M,N是直線l上的兩點,且F1M⊥l,F(xiàn)2M⊥l,求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上且過點P(
3
1
2
)
,離心率是
3
2

(1)求橢圓C的標準方程;
(2)直線l過點E(-1,0)且與橢圓C交于A,B兩點,若|EA|=2|EB|,求直線l的方程.

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(2013•和平區(qū)一模)已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,離心率為
1
2
,它的一個頂點恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點.
(I)求橢圓C的標準方程;
(II)若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點,設(shè)P(-4,0),連接PA交橢圓C于另一點E,求證:直線BE與x軸相交于定點M;
(III)設(shè)O為坐標原點,在(II)的條件下,過點M的直線交橢圓C于S、T兩點,求
OS
OT
的取值范圍.

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