【題目】已知線段的端點的坐標(biāo)是,端點在圓上運動.

求線段的中點的軌跡的方程

設(shè)圓與曲線的兩交點為,求線段的長

)若點在曲線上運動,軸上運動的最小值.

【答案】;;.

【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)點的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為,根據(jù)點坐標(biāo),和點是線段的中點, ,再由點在圓上運動,求得點的軌跡方程,進而可求得點點的軌跡的方程;

由兩圓的方程,相減得到直線的方程,根據(jù)圓的弦長公式,即可求解的長;

根據(jù)圓的性質(zhì)得 ,由關(guān)于軸的對稱點,進而可求得的最小值,即可得到的最小值

試題解析:

(Ⅰ)設(shè)點的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為,由于點的坐標(biāo)為

且點是線段的中點,所以

于是有,

因為點在圓上運動

所以點的坐標(biāo)滿足方程

把①代入②,得

整理,

所以點的軌跡的方程為.

(Ⅱ)圓與圓的方程

相減得

由圓的圓心為,半徑為1,且到直線

的距離

則公共弦長

是以為圓心,半徑的圓

是以為圓心半徑的圓

所以

當(dāng)且僅當(dāng)在線段在線段上時取等號.

設(shè)關(guān)于軸的對稱點

代入①式得:

當(dāng)且僅當(dāng)共線時,取等號.

所以的最小值為.

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