Question

已知一次函數(shù)f（x）=2x-b，冪函數(shù)g（x）=x^a，且知函數(shù)f（x）•g（x）的圖象過（1，2），函數(shù)

g(x)

f(x)

的圖象過（

2

，1），若函數(shù)h（x）=g（x）+f（x）．
（1）求函數(shù)h（x）的解析式；
（2）若x∈[-3，-

3

]，求y=

h(x)

x2

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件，求出a，b的值，即可求函數(shù)h（x）的解析式；
（2）若x∈[-3，-

3

]，求處y=

h(x)

x2

的表達(dá)式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）∵一次函數(shù)f（x）=2x-b，冪函數(shù)g（x）=x^a，且知函數(shù)f（x）•g（x）的圖象過（1，2），
∴f（1）•g（1）=（2-b）•1=2，解得b=0，
則f（x）=2x，
∵

g(x)

f(x)

的圖象過（

2

，1），
∴

g( 2 )

f( 2 )

=

( 2 )a

2 2

=1，
即（

2

）^a=2

2

，
解得a=3，則g（x）=x³，
則h（x）=g（x）+f（x）=2x+x³；
（2）若x∈[-3，-

3

]，
則y=

h(x)

x2

=

2x+x3

x2

=

2

x

+x，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=1-

2

x2

=

x2-2

x2

，
則當(dāng)x∈[-3，-

3

]時(shí)，y′＞0，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
故函數(shù)y=

h(x)

x2

的最小值為-

2

3

-3=-

11

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)最值的求解，利用條件求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．